Materi Daring Matematika Bu Emi: Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran yang akan dibahas melalui halaman ini akan dibedakan dalam 3 kondisi. Kondisi pertama adalah persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran. Kedua adalah persamaan garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran. Kondisi ketiga, atau yang terakhir, adalah persamaan garis singgung dengan nilai gradien (m) tertentu. Dari tiga kondisi tersebut diperlukan cara yang berbeda untuk masing-masing kondisi dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran.

Selain mengetahui rumus persamaan garis singgung lingkaran. Sobat idschool juga perlu mengetahui kriteria kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran. Bahkan, sebelum mempelajari cara mencari persamaan garis singgung lingkaran, sobat idschool sudah mengetahui cara mengetahui kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran. Kedudukan titik terhadap lingkaran menunjukkan posisi titik terhadap lingkaran. Posisi tersebut dapat meliputi di dalam lingkaran, pada lingkaran, dan di luar lingkaran.

Begitu juga dengan kedudukan garis terhadap lingkaran. Meliputi pembahasan posisi garis terhadap lingkaran. Apakah garis memotong lingkaran pada dua titik, garis memotong lingkaran pada satu titik (menyinggung lingkaran), atau garis terletak di luar lingkaran.

Pembahasan tentang kedudukan garis dan titik terhadap lingkaran tidak akan diulas lebih jauh di sini. Sudah ada pembahasan materi tersebut pada halaman lain. Halaman ini akan lebih fokus pada rumus persamaan garis singgung lingkaran. Berikut ini adalah pembahasan selanjutnya mengenai persamaan rumus garis singgung lingkaran.

Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Kondidisi pertama persamaan garis singgung lingkaran yang akan dibahas adalah garis singgung melalui suatu titik pada lingkaran. Misalkan sebuah lingkaran dengan pusat P dan diketahui titik Q yang dinyatakan dalam koordinat (x₁, y₁). Selanjutnya akan dicari persamaan garis singgung yang melalui titik Q tersebut. Garis tersebut adalah persamaan garis lingkaran dengan pusat P dan melalui titik Q.

Contoh ilustrasi garis singgung lingkaran yang melalui satu titik pada lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah.

Ada 3 (tiga) persamaan umum yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik pada lingkaran. Rumus yang akan digunakan tergantung pada bentuk persamaan lingkaran yang diketahui. Jika titik singgung pada lingkaran adalah $(x_{1}, y_{1})$ , maka rumus umum persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik dapat dilihat pada tabel di bawah.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Lingkaran

Tentukan persamaan garis singgung yang melalui satu titik

pada lingkaran yang memiliki persamaan $( x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 36$ !

Pembahasan:

Gunakan rumus nomor 2 (lihat tabel) untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik sesuai kondisi di atas.

$( x + 2)(1 - 2) + (y - 3)(4 - 3) = 36$

$( x + 2)(- 1) + (y - 3)(1) = 36$

$-x - 2 + y - 3 = 36$

$-x + y = 51 \rightarrow x - y + 51 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui satu titik

pada lingkaran yang memiliki persamaan $( x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 36$ adalah x – y + 51 = 0.

Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran biasa disebut juga dengan garis singgung kutub atau garis singgung polar. Jika sebuah titik (x₁, y₁) terletak di luar lingkaran, garis singgung dapat dicari dengan menarik garis lurus dari titik tersebut sehingga menyinggung lingkaran. Sehingga, bisa terdapat 2 (dua) garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran.

Contoh ilustrasi persamaan garis singgung di luar lingkaran dapat dilihat pada gambar di bawah.

Langkah-langkah menentukan persamaan garis singgung yang melalui satu titik di luar lingkaran:

Pertama: melakukan pemisalan garis singgung yang akan dicari. $y - y_{1} = m(x - x_{1})$
dengan m adalah gradien dan (x₁, y₁) adalah titik di luar lingkaran yang dilalui garis singgung.
Ke dua: substitusikan nilai y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat dengan variabel x.
Ke tiga: menghitung nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut. Agar garis menyinggung lingkaran maka nilai D = 0, penjelasan lebih lanjut ada pada materi kedudukan garis terhadap lingkaran.
Ke empat: selesaikan persamaan kuadrat yang diperoleh dari langkah ketiga untuk mendapatkan nilai m.
Ke lima: substitusikan nilai m pada pemisalan persamaan $y - y_{1} = m(x - x_{1})$
pada langkah pertama.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Satu Titik di Luar Lingkaran

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 1) dengan persamaan x² + y² = 9!

Pembahasan:

Sebelumnya, pastikan bahwa titik (3, 1) berada di luar lingkaran. Jika belum tahu caranya bisa disimak pada halaman mengenai kedudukan titik terhadap lingkaran.

Substitusi titik (3, 1) pada persamaan, sehingga diperoleh perhitungan seperti berikut.

$x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 3^{2} + 1^{1} = 9 + 1 = 10$

Karena nilai $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 10 > 9$ maka letak titik (3, 1) berada di luar lingkaran.

Selanjutnya adalah mencari persamaan garis singgung lingkaran yang melalui satu titik di luar lingkaran.

Pertama: memisalkan persamaan garis singgung dengan persamaan     $y - y_{1} = m(x - x_{1})$
dengan m adalah gradien garis tersebut dan (x₁, y₁) adalah titik di luar lingkaran yang dilalui garis singgung yang akan dicari.
Pemisalan persamaan garis singgung:
     $(y - 1) = m(x - 3)$
     $y - 1 = mx - 3m \rightarrow y = mx - 3m + 1$
Ke dua: substitusi nilai y = mx – 3m + 1 ke persamaan lingkaran x² + y² = 9 untuk mendapatkan persamaan kuadrat yang akan digunakan pada langkah selanjutnya.Hasil substitusi y = mx – 3m + 1 pada persamaan lingkaran x² + y² = 9 adalah sebagai berikut.
     $x^{2} + y^{2} = 9$
     $x^{2} + (mx - 3m + 1)^{2} = 9$
     $x^{2} + m^{2}x^{2} - 3m^{2}x + mx - 3m^{2}x + 9m^{2} - 3m + mx - 3m + 1 - 9 = 0$
     $(m^{2} + 1 )x^{2} - (6m^{2} - 2 m) x + (9m^{2} - 6m - 8) = 0$
Ke tiga: menghitung nilai diskriminan pada persamaan kuadrat yang diperoleh pada langkah kedua.Agar garis menyinggung lingkaran maka nilai diskriminan harus sama dengan nol (D = 0).
Dari persamaan kuadrat pada langkah kedua dapat diperoleh:
     $a = m^{2} + 1$
     $b = 6m^{2} - 2m$
     $c = 9m^{2} - 6m - 8$
Sehingga,
     $D = 0$
     $b^{2} - 4ac = 0$
     $(6m^{2} - 2m)^{2} - 4(m^{2} + 1)(9m^{2} - 6m - 8) = 0$
     $36m^{4} - 24m^{3} + 4m^{2} - 4(9m^{4} - 6m^{3} - 8m^{2} + 9m^{2} - 6m - 8)= 0$
     $36m^{4} - 24m^{3} + 4m^{2} - 4(9m^{4} - 6m^{3} + m^{2} - 6m - 8)= 0$
     $36m^{4} - 24m^{3} + 4m^{2} - 36m^{4} + 24m^{3} - 4m^{2} + 24m + 32 = 0$
     $24m + 32 = 0$
Ke empat: untuk mendapatkan nilai m, selesaikan persamaan kuadrat dengan variabel m yang diperoleh pada langkah ketiga.     $24m + 32 = 0$
     $24m = - 32$
     $m = - \frac{32}{24}$
     $m = - \frac{4}{3}$
Ke lima: menentukan persamaan garis singgungnya.Substitusi nilai m yang diperoleh pada langkah ke empat $(m = \frac{3}{4})$ pada pemisalan garis singgung pada langkah pertama.
     $y = mx - 3m + 1$
     $y = - \frac{4}{3} x - 3 \left( - \frac{4}{3} \right) + 1$
     $y = - \frac{4}{3}x + \frac{12}{3} + 1$
     $y = - \frac{4}{3}x + 4 + 1$
     $y = - \frac{4}{3}x + 5$
     $3y = -4x + 15$
     $4x + 3y - 15 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan x² + y² = 9 yang melalui titik (3, 1) adalah

$4x + 3y - 15 = 0$

Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

Ada 3 (tiga) persamaan umum yang dapat digunakan untuk menentukan garis singgung lingkaran yang diketahui nilai gradiennya. Rumus yang akan digunakan tergantung pada persamaan lingkaran yang diketahui. Ada tiga rumus mencari persamaan garis singgung lingkaran dari tiga persamaan lingkaran yang berbeda.

Jika diketahui gradien dari suatu gradien garis singgung adalah m, maka rumus umum persamaan garis singgung lingkaran untuk tiga bentuk persamaan lingkaran yang berbeda dapat dilihat pada tabel di bawah.